Miejsca Zerowe Funkcji - Metoda Regula Falsi

W naszym serwisie jest nowszy artykuł o obliczaniu pierwiastków funkcji: "Metody numeryczne".

Metoda Regula Falsi

Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział ⟨a;b⟩ poszukiwań pierwiastka. W przedziale tym funkcja musi spełniać następujące warunki:

Funkcja f(x) jest określona - dla każdej wartości argumentu x z przedziału ⟨a;b⟩ potrafimy policzyć wartość funkcji.
Funkcja f(x) jest ciągła - jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków. Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji.
Funkcja f(x) na krańcach przedziału ⟨a;b⟩ przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim wymogiem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale ⟨a;b⟩ wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b). Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt x₀ w przedziale ⟨a;b⟩, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią:

Gdy funkcja f(x) spełnia podane warunki, to w przedziale ⟨a;b⟩ zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem Regula Falsi.

W języku łacińskim Regula Falsi oznacza fałszywą prostą. Ideą tej metody jest założenie, iż funkcja w coraz mniejszych przedziałach wokół pierwiastka zaczyna przypominać funkcję liniową. Skoro tak, to przybliżenie pierwiastka otrzymujemy prowadząc linię prostą (sieczną) z punktów krańcowych przedziału. Sieczna przecina oś OX w punkcie x₀, który przyjmujemy za przybliżenie pierwiastka - gdyby funkcja faktycznie była liniowa, otrzymany punkt x₀ byłby rzeczywistym pierwiastkiem.

Wzór dla x₀ można wyprowadzić na kilka sposobów. My wybierzemy znane twierdzenie Talesa, które mówi, iż jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta będą proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na ramieniu drugim. Poniższy rysunek obrazuje tę sytuację:

W naszym przypadku postępujemy następująco:

Kąt utworzą odpowiednie odcinki:

pionowo FA = (a,0)-(a,f(a)) powiększony o odcinek FB = (b,0)-(b,-f(b))

poziomo XAB = (a,0)-(b,0)

Prostymi równoległymi będzie cięciwa z punktów krańcowych przedziału, oraz ta sama cięciwa przesunięta pionowo w górę o długość odcinka FB.

Poniższy rysunek obrazuje otrzymaną sytuację:

Zgodnie z twierdzeniem Talesa mamy:

Jeśli podstawimy do tego wzoru długości odcinków:

Otrzymamy:

a dalej:

Ostatnie przekształcenie ma na celu otrzymanie wzoru o lepszej "zapamiętywalności". Mnożymy mianownik przez (-1), dzięki czemu staje się on spójny z licznikiem ułamka. Sam ułamek zmienia znak na minus.

Algorytm Regula Falsi jest bardzo podobny do opisanego w poprzednim rozdziale algorytmu bisekcji. Założenia wstępne dla badanej funkcji w obu algorytmach są identyczne. Różnią się one sposobem wyznaczania punktu x₀. W algorytmie bisekcji punkt ten zawsze wyznaczany był w środku przedziału ⟨a;b⟩. Z tego powodu algorytm bisekcji jest "nieczuły" na przebieg funkcji - zawsze zbliża się do pierwiastka w ten sam sposób.

W algorytmie Regula Falsi jest inaczej. Punk x₀ wyznaczany jest w zależności od wartości funkcji na krańcach przedziału poszukiwań. W efekcie w każdej iteracji otrzymujemy lepsze przybliżenie do rzeczywistej wartości pierwiastka. Zatem w większości przypadków algorytm Regula Falsi szybciej osiągnie założoną dokładność pierwiastka od algorytmu bisekcji (chociaż można oczywiście podać kontrprzykłady).

Po wyznaczeniu przybliżonego pierwiastka postępowanie w obu algorytmach jest w zasadzie takie samo. Sprawdzamy, czy wartość modułu różnicy pomiędzy dwoma ostatnimi przybliżeniami pierwiastka jest mniejsza od zadanego minimum. Jeśli tak, obliczenia kończymy zwracając x₀.

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀ i sprawdzamy, czy jest ona dostatecznie bliska zeru. Jeśli tak, zwracamy x₀ i kończymy. Jeśli nie, za nowy przedział przyjmujemy tą część przedziału ⟨a;b⟩ rozdzielonego przez x₀, w której funkcja zmienia znak. Całą procedurę powtarzamy, aż do osiągnięcia pożądanego wyniku.

do podrozdziału do strony

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

f(x)	–	funkcja, której pierwiastek liczymy. Musi spełniać warunki podane na początku tego rozdziału.
a,b	–	punkty krańcowe przedziału poszukiwań pierwiastka funkcji f(x); a,b ∈ R

Dane wyjściowe

x₀

–

pierwiastek funkcji f(x)

Zmienne pomocnicze i funkcje

f_a, f_b, f_o	–	wartości funkcji odpowiedniow punktach a, b, x_o; f_a, f_b, f₀ ∈ R
x₁	–	przechowuje poprzednią wartość przybliżenia x₀
ε_o	–	określa dokładność porównania z zerem; ε_o = 0.0000000001
ε_x	–	określa dokładność wyznaczania pierwiastka x₀; ε_x = 0.0000000001

Lista kroków

	K01:	Czytaj a i b
	K02:	f_a ← f(a); f_b ← f(b); x₁ ← a; x₀ ← b
	K03:	Jeśli f_a · f_b > 0, to pisz "Brak pierwiastka" i zakończ
	K04:	Dopóki \| x₁ - x₀ \| > ε_x: wykonuj kroki K05 ... K08
	K05:	x₁ ← x₀
	K06:
	K07:	Jeśli \| f₀ \| < ε₀, to idź do kroku K09
	K08:	Jeśli f_a · f₀ < 0, to b ← x₀; f_b ← f₀, inaczej a ← x₀; f_a ← f₀
	K09:	Pisz x₀
	K10:	Zakończ

Schemat blokowy

Algorytm Regula Falsi jest bardzo podobny do algorytmu bisekcji. Zmiany zaznaczono na schemacie blokowym zielonym kolorem elementów.

Odczytujemy zakres poszukiwań pierwiastka danej funkcji. W zmiennych f_a i f_b umieszczamy wartość funkcji na krańcach tego zakresu. Inicjujemy x₁ oraz x₀, tak aby algorytm nie zatrzymał się przy pierwszym obiegu pętli.

Pierwszy test ma na celu sprawdzenie warunku różnych znaków wartości funkcji na krańcach przedziału ⟨a;b⟩. Różne znaki gwarantują nam istnienie pierwiastka w danym zakresie. Jeśli funkcja na krańcach ma ten sam znak, wypisujemy odpowiedni komunikat i kończymy algorytm.

Rozpoczynamy pętlę wyliczania kolejnych przybliżeń pierwiastka funkcji. Pętla wykonywana jest do momentu, gdy dwa ostatnio obliczone pierwiastki różnią się o ε_x.

Na początku pętli do x₁ wprowadzamy poprzednio wyliczony pierwiastek i obliczamy nowy. Następne obliczamy wartość funkcji w x₀ umieszczając ją w zmiennej f₀. Sprawdzamy, czy wartość f₀ jest dostatecznie bliska zeru (wpada w otoczenie zera o promieniu ε₀), Jeśli tak, to przerywamy pętlę, co spowoduje wypisanie x₀ i zakończenie algorytmu.

Za nowy przedział ⟨a;b⟩ przyjmujemy tę część przedziału podzielonego przez x_o, w której funkcja zmienia znak. Testujemy iloczyn f_a przez f₀. Jeśli jest ujemny, to funkcja zmienia znak przyjmuje w ⟨a;x₀⟩. Za nowy koniec b przyjmujemy x₀ i kontynuujemy pętlę. W przeciwnym razie zmiana znaku występuje w ⟨x₀;b⟩. Za nowy początek a przyjmujemy x₀ i kontynuujemy pętlę. W obu przypadkach przepisujemy również f₀ odpowiednio do f_a lub f_b w celu uniknięcia ponownych obliczeń wartości funkcji w nowych punktach krańcowych przedziału.

do podrozdziału do strony

Programy wyznaczają miejsce zerowe funkcji:

Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach ⟨-1;0⟩ i ⟨1;2⟩.

C++

// Program znajduje miejsce
// zerowe funkcji f(x) za
// pomocą algorytmu
// regula falsi
// ------------------------
//  (C)2006 mgr J.Wałaszek

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <cstdlib>

using namespace std;

// dokładność porównania z zerem
const double EPS0 = 0.0000000001;
// dokładność wyznaczenia pierwiastka
const double EPSX = 0.0000000001;

// Funkcja, której miejsce
// zerowe obliczamy
// f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
// <-1,0> i <1,2>
double f(double x)
{
  return x * x * x *
         (x + sin(x * x - 1) - 1) - 1;
}

//---------------
// Program główny
//---------------

int main()
{
  double a,b,x0,x1,fa,fb,f0;

  cout << setprecision(8)
       << fixed
       << "Obliczanie pierwiastka funkcji\n"
          "za pomoca metody Regula Falsi\n"
          "f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1\n"
          "------------------------------\n"
          "  (C)2006 mgr Jerzy Walaszek\n\n"
          "Podaj przedzial poszukiwan:\n\n";
  cout << "a = "; cin >> a;
  cout << "b = "; cin >> b;
  cout << "\nWYNIK:\n\n";
  fa = f(a);
  fb = f(b);
  x1 = a;
  x0 = b;
  if(fa * fb > 0) cout << "Brak pierwiastka\n";
  else
  {
    while(fabs(x1 - x0) > EPSX)
    {
      x1 = x0;
      x0 = a - fa * (b - a) / (fb - fa);
      f0 = f(x0);
      if(fabs(f0) < EPS0) break;
      if(fa * f0 < 0)
      {
        b = x0; fb = f0;
      }
      else
      {
        a = x0; fa = f0;
      }
    }
    cout << "x0 = " << setw(15) << x0 << endl;
  }
  cout << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Pascal

// Program znajduje miejsce
// zerowe funkcji f(x) za
// pomocą algorytmu
// Regula Falsi
// ------------------------
//  (C)2006 mgr J.Wałaszek

program mzf1;

uses math;

const
  // dokładność porównania z zerem
  EPS0 = 0.0000000001;
  // dokładność wyznaczenia pierwiastka
  EPSX = 0.0000000001;

// Funkcja, której miejsce zerowe obliczamy
// f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
// <-1,0> i <1,2>
function f(x : real) : double;
begin
  Result := x * x * x *
           (x + sin(x * x - 1) - 1) - 1;
end;

//---------------
// Program główny
//---------------

var
  a,b,x0,x1,fa,fb,f0 : double;

begin
  writeln('Obliczanie pierwiastka funkcji');
  writeln('za pomoca metody Regula Falsi');
  writeln('f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1');
  writeln('------------------------------');
  writeln(' (C)2006 mgr Jerzy Walaszek');
  writeln;
  writeln('Podaj przedzial poszukiwan:');
  writeln;
  write('a = '); readln(a);
  write('b = '); readln(b);
  writeln;
  writeln('WYNIK:');
  writeln;
  fa := f(a);
  fb := f(b);
  x1 := a;
  x0 := b;
  if fa * fb > 0 then
    writeln('Brak pierwiastka')
  else
  begin
    while abs(x1 - x0) > EPSX do
    begin
      x1 := x0;
      x0 := a - fa * (b - a) / (fb - fa);
      f0 := f(x0);
      if abs(f0) < EPS0 then break;
      if fa * f0 < 0 then
      begin
        b := x0; fb := f0;
      end
      else
      begin
        a := x0; fa := f0;
      end;
    end;
    writeln('x0 = ',x0:15:8);
  end;
  writeln;
  writeln('Nacisnij Enter...');
  readln;
end.

Basic

' Program znajduje miejsce
' zerowe funkcji f(x) za
' pomocą algorytmu
' Regula Falsi
' ------------------------
'  (C)2006 mgr J.Wałaszek

Declare Function f(x As Double) _
                     As Double

' dokładność porównania z zerem
Const EPS0 As Double = 0.0000000001
' dokładność wyznaczenia pierwiastka
Const EPSX As Double = 0.0000000001

'---------------
' Program główny
'---------------

Dim As double a, b, x0, x1, fa, fb, f0

Print "Obliczanie pierwiastka funkcji"
Print "za pomoca metody Regula Falsi"
Print "f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1"
Print "------------------------------"
Print "  (C)2006 mgr Jerzy Walaszek"
Print
Print "Podaj przedzial poszukiwan:"
Print
Input "a = ", a
Input "b = ", b
Print
Print "WYNIK:"
Print
fa = f(a)
fb = f(b)
x1 = a
x0 = b
If fa * fb > 0 Then
  Print "Brak pierwiastka"
Else
  While Abs(x1 - x0) > EPSX
    x1 = x0
    x0 = a - fa * (b - a) / (fb - fa)
    f0 = f(x0)
    If Abs(f0) < EPS0 Then Exit While
    If fa * f0 < 0 Then
      b = x0 : fb = f0
    Else
      a = x0 : fa = f0
    End If
  Wend
  Print Using "x0 = ######.########"; x0
End If

Print
Print "Nacisnij Enter..."
Sleep
End

' Funkcja, której miejsce
' zerowe obliczamy
' f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
' <-1,0> i <1,2>
Function f(x As Double) As Double
  Return x * x * x * _
        (x + Sin(x * x - 1) - 1) - 1
End Function

Python (dodatek)

# Program znajduje miejsce
# zerowe funkcji f(x) za
# pomocą algorytmu
# Regula Falsi
# ------------------------
#  (C)2006 mgr J.Wałaszek

import math

# Funkcja, której miejsce
# zerowe obliczamy
# f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
# <-1,0> i <1,2>
def f(x):
    return x * x * x * \
           (x+math.sin(x*x-1)-1)-1

# dokładność porównania z zerem
EPS0 = 0.0000000001
# dokładność wyznaczenia pierwiastka
EPSX = 0.0000000001

#---------------
# Program główny
#---------------

print("Obliczanie pierwiastka funkcji")
print("za pomocą metody Regula Falsi")
print("f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1")
print("------------------------------")
print("  (C)2026 mgr Jerzy Wałaszek")
print()
print("Podaj przedział poszukiwań:")
print()
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
print()
print("WYNIK:")
print()
fa = f(a)
fb = f(b)
x1 = a
x0 = b
if fa * fb > 0:
    print("Brak pierwiastka")
else:
    while abs(x1 - x0) > EPSX:
        x1 = x0
        x0 = a-fa*(b-a)/(fb-fa)
        f0 = f(x0)
        if abs(f0) < EPS0: break
        if fa * f0 < 0:
            b, fb = x0, f0
        else:
            a, fa = x0, f0
    print("x0 = %15.8f" % x0)

print()
input("Naciśnij Enter...")

Wynik:

Obliczanie pierwiastka funkcji
za pomocą metody Regula Falsi
f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
------------------------------
  (C)2026 mgr Jerzy Wałaszek

Podaj przedział poszukiwań:

a = 1
b = 2

WYNIK:

x0 =      1.18983299

Naciśnij Enter...

JavaScript

<html>
  <head>
  </head>
  <body>
<div style="overflow-x: auto;"
     align="center">
  <table
  border="0"
  cellpadding="4"
  style="border-collapse:
         collapse">
    <tr>
      <td nowrap>
        <form
        name="frmbincode"
        style="text-align: center;
               background-color:
               #E7E7DA;
               class=nomargin">
          <b><big>
          Obliczanie<br>
          pierwiastka funkcji<br>
          metodą Regula Falsi
          </big></b><br><br>
          f(x) = x<sup>3</sup>(x +
          sin(x<sup>2</sup>-1)-1)-1<br>
          <br>
          &nbsp;&nbsp;
          (C)2026
          mgr Jerzy Wałaszek
          I LO w Tarnowie
          &nbsp;&nbsp;
          <hr>
          Wpisz do pól edycyjnych<br>
          krańce przedziału<br>
          poszukiwań pierwiastka<br>
          <br>
          a = <input
              type="text"
              name="inp_a"
              size="16"
              value="1"
              style="text-align:
              right">
          <br>
          b = <input
              type="text"
              name="inp_b"
              size="16"
              value="2"
              style="text-align:
              right">
          <hr>
          <input
          type="button"
          value="Szukaj"
          name="B1"
          onclick="main()">
          <hr>
          <b>Wynik:</b>
          <div id="out">.</div>
        </form>
      </td>
    </tr>
  </table>
</div>

<script language=javascript>

// Program znajduje miejsce
// zerowe funkcji f(x)
// za pomocą algorytmu
// regula falsi
// ------------------------
//  (C)2006 mgr J.Wałaszek

// dokładność porównania z zerem
var EPS0 = 0.0000000001
// dokładność wyznaczenia
// pierwiastka
var EPSX = 0.0000000001

// Funkcja, której miejsce
// zerowe obliczamy
// f(x) = x^3*(x+sin(x^2-1)-1)-1
// <-1,0> i <1,2>
function f(x)
{
  return x*x*x*
        (x+Math.sin(x*x-1)-1)-1;
}

//---------------
// Program główny
//---------------

function main()
{
  var a,b,x0,x1,fa,fb,f0,t

  a = parseFloat(document
      .frmbincode.inp_a.value)
  b = parseFloat(document
      .frmbincode.inp_b.value)
  if(isNaN(a) || isNaN(b))
    t = "<font color=red><b>" +
        "Złe krańce zakresu " +
        "poszukiwań pierwiastka!" +
        "</b></font>"
  else
  {
    t  = "x<sub>o</sub> = "
    fa = f(a); fb = f(b)
    x1 = a; x0 = b
    if(fa * fb > 0)
      t = "<font color=red><b>" +
          "Brak pierwiastka" +
          "</b></font>"
    else
    {
      while(Math.abs(x1 - x0) > EPSX)
      {
        x1 = x0
        x0 = a - fa * (b - a) /
             (fb - fa)
        f0 = f(x0)
        if(Math.abs(f0) < EPS0)
          break
        if(fa * f0 < 0)
        {
          b = x0
          fb = f0
        }
        else
        {
          a = x0
          fa = f0
        }
      }
      t += x0
    }
  }
  t = "<nobr>" + t + "</nobr>"
  document.getElementById("out")
  .innerHTML = t
}

</script>
  </body>
</html>

Tutaj możesz przetestować działanie prezentowanego skryptu. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach ⟨-1;0⟩ i ⟨1;2⟩.

do podrozdziału do strony

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.

Metoda Regula Falsi

Algorytm Regula Falsi

Opis Algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze i funkcje

Lista kroków

Schemat blokowy

Programy