Całkowanie numeryczne: Metoda trapezów

Opisana w poprzednim rozdziale metoda prostokątów nie jest zbyt dokładna, ponieważ pola użytych w niej prostokątów źle odwzorowują powierzchnię pola pod krzywą (dokładność odwzorowania rośnie wraz ze wzrostem liczby prostokątów). Dużo lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o wysokości dx i podstawach równych odpowiednio wartości funkcji w punktach krańcowych.. Sama zasada nie zmienia się.

Przedział całkowania <x_p,x_k> dzielimy na n+1 równo odległych punktów x₀,x₁,x₂,...,x_n. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

dla i = 0,1,2,...,n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - będzie to wysokość każdego trapezu:

Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru:

dla i=1,2,...,n
obrazek

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

czyli

Wyprowadzony na końcu wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w metodzie trapezów.

Przykład:

Obliczymy ręcznie przybliżoną wartość całki oznaczonej z funkcji f(x) = sin(x)w przedziale <0,π>.

Przedział podzielimy na n + 1 = 5 punktów:

Odległość między dwoma sąsiednimi punktami wynosi:

Dla każdego z wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x) = sin(x):

Obliczamy sumę pól trapezów:

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w przypadku metody prostokątów - dlaczego?

do podrozdziału do strony

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

x_p	- początek przedziału całkowania, x_p ∈ R
x_k	- koniec przedziału całkowania, x_k ∈ R
n	- liczba punktów podziałowych, n ∈ N
f(x)	- funkcja rzeczywista, której całkę liczymy

Dane wyjściowe

s	- przybliżona wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <x_p,x_k>, s ∈ R

Zmienne pomocnicze

dx	- odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi, dx ∈ R
i	- licznik punktów podziałowych, i ∈ N

Lista kroków

K01:	s ← 0
K02:
K03:	Dla i = 1,2,...,n : wykonuj: s ← s + f (x_p+ i ·dx)
K04:
K05:	Zakończ

Schemat blokowy

Po odczytaniu informacji o krańcach x_p i x_k przedziału całkowania ustawiamy sumę s na 0, obliczamy odległość dx pomiędzy sąsiednimi punktami podziałowymi i ustawiamy ich licznik na 1.

Rozpoczynamy pętlę iteracyjną, która wykona się (n - 1)-razy. Wewnątrz pętli obliczamy i-ty punkt podziałowy oraz wartość funkcji w tym punkcie, którą dodajemy do sumy s.

Po zakończeniu pętli do sumy s dodajemy średnią wartość funkcji na krańcach przedziału i całość przemnażamy przez dx Po tej operacji s zawiera wartość przybliżoną całki. Zwracamy ją użytkownikowi i kończymy algorytm.

do podrozdziału do strony

Prezentowane poniżej programy wyliczają całkę oznaczoną funkcji f(x) = x² + 2x. Przedział całkowania jest dzielony na n=1000 punktów. W przedziale <0,1> całka oznaczona ma wartość dokładną równą ⁴/₃ = 1.3333...

C++

// Obliczanie całki oznaczonej
// metodą trapezów
// ---------------------------
// (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

// Tutaj definiujemy funkcję
double f(double x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

// Program główny
int main()
{
  //liczba punktów/trapezów podziałowych
  const int N = 1000;

  double xp,xk,s,dx;
  int i;

  // 3 cyfry po przecinku
  cout << setprecision(3)
  // format stałoprzecinkowy
       << fixed;

  cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n"
          " za pomoca metody trapezow\n"
          "---------------------------\n"
          "(C)2004 mgr J.Walaszek I LO\n\n"
          "f(x) = x * x + 2 * x\n\n"
          "Podaj poczatek przedzialu "
          "calkowania\n\n"
          "xp = ";
  cin >> xp;
  cout << "\nPodaj koniec przedzialu "
          "calkowania\n\n"
          "xk = ";
  cin >> xk;
  cout << endl;
  s  = 0;
  dx = (xk - xp) / N;
  for(i = 1; i < N; i++)
    s += f(xp + i * dx);
  s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
  cout << "Wartosc calki wynosi : "
       << s
       << endl << endl;
  system("pause");
  return 0;
}

Pascal

// Obliczanie całki oznaczonej
// metodą trapezów
// ---------------------------
// (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek

program int_trapez;

// Tutaj definiujemy funkcję
function f(x : double) : double;
begin
  f := x * x + 2 * x;
end;

// Program główny

// liczba punktów
// trapezów podziałowych
const N = 1000;

var
  xp,xk,s,dx : double;
  i : integer;

begin
  writeln('Obliczanie calki oznaczonej');
  writeln(' za pomoca metody trapezow');
  writeln('--------------------------');
  writeln('(C)2004 mgr J.Walaszek I LO');
  writeln;
  writeln('f(x) = x * x + 2 * x');
  writeln;
  writeln('Podaj poczatek ' +
          'przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xp = '); readln(xp);
  writeln;
  writeln('Podaj koniec ' +
          'przedzialu calkowania');
  writeln;
  write('xk = '); readln(xk);
  writeln;
  s  := 0;
  dx := (xk - xp) / N;
  for i := 1 to N - 1 do
    s := s + f(xp + i * dx);
  s := (s + (f(xp) + f(xk)) / 2)* dx;
  writeln('Wartosc calki wynosi : ',
          s:0:3);
  writeln;
  writeln('Nacisnij klawisz Enter...');
  readln;
end.

Basic

' Obliczanie całki oznaczonej
' metodą trapezów
' ---------------------------
' (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek

Declare Function f(x As Double) _
                     As Double

' Program główny

' liczba punktów
' trapezów podziałowych
const N = 1000

Dim As Double xp,xk,s,dx
Dim As Integer i

Print "Obliczanie  calki oznaczonej"
Print " za pomoca  metody trapezow"
Print "----------------------------"
Print "(C)2004 mgr J.Walaszek  I LO"
Print
Print "f(x) = x * x + 2 * x"
Print
Print "Podaj poczatek " & _
      "przedzialu calkowania"
Print
Input "xp = ", xp
Print
Print "Podaj koniec " & _
      "przedzialu calkowania"
Print
Input "xk = ", xk
Print
s  = 0
dx = (xk - xp) / N
for i = 1 to N - 1
  s += f(xp + i * dx)
Next
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx
Print Using "Wartosc calki " & _
      "wynosi : ####.###"; s

' Gotowe
Print
Print "KONIEC. Nacisnij " & _
      "dowolny klawisz..."
Sleep
End

' Tutaj definiujemy funkcję
Public Function f(ByVal x As Double) _
                  As Double
    Return x * x + 2 * x
End Function

Python (dodatek)

# Obliczanie całki oznaczonej
# metodą trapezów
# ---------------------------
# (C)2026 mgr Jerzy Wałaszek

# Tutaj definiujemy funkcję
def f(x):
    return x * x + 2 * x

# Program główny

# liczba punktów
# trapezów podziałowych
n = 1000

print("Obliczanie całki oznaczonej")
print(" za pomocą metody trapezów")
print("---------------------------")
print("(C)2026 mgr J.Wałaszek I LO")
print()
print("f(x) = x * x + 2 * x")
print()
print("Podaj początek "
      "przedziału całkowania")
print()
xp = float(input("xp = "))
print()
print("Podaj koniec "
      "przedziału całkowania")
print()
xk = float(input("xk = "))
print()
s  = 0
dx = (xk - xp) / n
for i in range(1,n):
    s += f(xp + i * dx)
s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx
print("Wartość całki "
      "wynosi : %.3f" % s)

# Gotowe
print()
input("Naciśnij Enter...")

Wynik:

Obliczanie całki oznaczonej
 za pomocą metody trapezów
---------------------------
(C)2026 mgr J.Wałaszek I LO

f(x) = x * x + 2 * x

Podaj początek przedziału całkowania

xp = 0

Podaj koniec przedziału całkowania

xk = 1

Wartość całki wynosi : 1.333

Naciśnij Enter...

JavaScript

<html>
<head>
  <title>Całkowanie numeryczne metodą prostokątów</title>
</head>
<body>
<form name="frm_trapez" class="round_note">
	<h2 style="text-align: center;">Obliczanie całki oznaczonej<br>
	                                za pomocą metody trapezów</h2><hr>
	<p style="text-align: center;">(C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie</p>
	<p style="text-align: center;">Całkowana funkcja:</p>
	<p style="text-align: center;"><i>f(x) = x<sup class="small">2</sup> + 2x</i></p>
	<p style="text-align: center;">Tutaj określ przedział całkowania</p>
	<p style="text-align: center;">Początek <i>x<sub class="small">p</sub></i> =
	<input name="xp_inp" size="20" value="0" type="text" style="text-align: right">
	<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
	<span lang="en">&nbsp;</span>koniec <i>x<sub class="small">k </sub></i>=
  	<input name="xk_inp" size="20" value="1" type="text" style="text-align: right"></p>
	<p style="text-align: center;">
	<input onclick="js_trapez();" value="Oblicz całkę" name="B1" type="button"></p>
	<p style="text-align: center;">Wartość całki wynosi</p>
	<p id="t_out" style="text-align: center;">...</p>
</form>
</div>
<script language="JavaScript">

// Obliczanie całki oznaczonej
// metodą trapezów
// ---------------------------
// (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek

// Tutaj definiujemy funkcję 

function f(x)
{
  return(x * x + 2 * x);
}

function js_trapez()
{
  var N = 1000; //liczba punktów/trapezów podziałowych
  var xp,xk,s,dx,i,t;

  xp = parseFloat(document.frm_trapez.xp_inp.value);
  xk = parseFloat(document.frm_trapez.xk_inp.value);
  if(isNaN(xp) || isNaN(xk))
    t = "<font color=red><b>Popraw dane wejściowe!</b></font>";
  else
  {
    s  = 0;
    dx = (xk - xp) / N;
    for(i = 1; i < N; i++) s += f(xp + i * dx);
    s = (s + (f(xp) + f(xk)) / 2) * dx;
    t = Math.floor(s * 1000) / 1000;
  };
  document.getElementById("t_out").innerHTML = t;
}
</script>
</body>
</html>

do podrozdziału do strony

Materiały tylko do użytku dydaktycznego. Ich kopiowanie i powielanie jest dozwolone pod warunkiem podania źródła oraz niepobierania za to pieniędzy.
Pytania proszę przesyłać na adres email: i-lo@eduinf.waw.pl
Serwis wykorzystuje pliki cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać, zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe.

Metoda trapezów

Algorytm całkowania metodą trapezów

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów

Metoda trapezów

Algorytm całkowania metodą trapezów

Opis algorytmu

Specyfikacja problemu

Dane wejściowe

Dane wyjściowe

Zmienne pomocnicze

Lista kroków

Schemat blokowy

Przykładowe programy

Obliczanie całki oznaczonej za pomocą metody trapezów

Obliczanie całki oznaczonej
za pomocą metody trapezów