Prezentowane w artykule algorytmy wzbogaciliśmy o proste przykłady programów w poniższych środowiskach programowania:

• Free Pascal
• Code::Blocks (C++)
• FreeBasic
• Python
• JavaScript

Wszystkie są darmowo dostępne poprzez sieć Internet. Ostatni język, JavaScript, jest dostępny w większości przeglądarek internetowych - Edge, FireFox, Google Chrome, Opera, Safari, itp. Również w większości współczesnych urządzeń mobilnych mamy dostęp do języka JavaScript.

Całka (ang. Integral) jest jednym z najważniejszych pojęć współczesnej analizy matematycznej. Zastosowania ma tak liczne, iż trudno je wymienić. Stosuje się ją w matematyce, fizyce, technice i wielu innych dziedzinach nauki. W matematyce badaniem własności i obliczaniem wartości całek zajmuje się dział zwany rachunkiem całkowym. Za twórców tego rachunku uważa się dwóch wielkich matematyków: Isaaca Newtona oraz Gottfrieda Leibniza, którzy opracowali teorię i metody związane z pojęciem całki i wprowadzili terminologię oraz oznaczenia zbliżone do stosowanych współcześnie, ukazujące związek rachunku całkowego z rachunkiem różniczkowym.

Nie wgłębiając się zbytnio w teorię matematyczną można powiedzieć, iż całką funkcji \(f(x)\) będzie każda funkcja \(F(x)\), której pochodna jest równa \(f(x)\), czyli

Funkcję \(F(x)\) nazywamy funkcją pierwotną (ang. antiderivative, primitive function, primitive integral, indefinite integral) danej funkcji \(f(x)\). Funkcja pierwotna może być znaleziona z dokładnością do stałej, ponieważ stała znika w trakcie wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne danej funkcji \(f(x)\) tworzą klasę funkcji różniących się stałymi:

Przykład:

Znajdźmy funkcję pierwotną od \({f(x) = 2x}\). Korzystamy ze znanego wzoru na pochodną funkcji:

ponieważ

zatem

stąd

Funkcję pierwotną \(F(x)\) nazywamy całką nieoznaczoną (ang. indefinite integral) funkcji \(f(x)\) i przedstawiamy symbolem wprowadzonym w 1686 roku przez niemieckiego matematyka Leibniza:

Zagadnienie obliczania całek nieoznaczonych sprowadza się do znajdowania postaci funkcji pierwotnej. Jest to dosyć skomplikowane i nie stanowi celu naszego opracowania. W całkowaniu numerycznym głównie zajmujemy się całkami oznaczonymi.

Całka oznaczona (ang. definite integral) funkcji \(f(x)\) w przedziale \({[x_p ; x_k]}\) jest liczbą przedstawianą symbolem:

i obliczaną na różne sposoby. Przedział \({[x_p ; x_k]}\) nazywa się przedziałem całkowania (ang. integration interval). Krańce tego przedziału nazywa się granicami całkowania (ang. integration limits). Wartość \(x_p\) jest dolną, a \(x_k\) górną granicą całkowania.

Jeśli znamy przepis na funkcję pierwotną \(F(x)\) funkcji podcałkowej \(f(x)\), to wartość całki oznaczonej funkcji \(f(x)\) w przedziale \({[x_p ; x_k]}\) możemy obliczyć w prosty sposób wg definicji Newtona-Leibniza:

Z punktu widzenia obliczeń komputerowych sposób ten nie jest najlepszy, ponieważ wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej \(F(x)\), co jest zadaniem symbolicznie bardzo skomplikowanym – algorytmy potrafiące wyznaczyć wzór funkcji pierwotnej w postaci analitycznej rozwijane są od końca lat 60. XX wieku i wciąż stanowią wyzwanie inżynieryjne. Z metod symbolicznego wyznaczania całek korzystają zaawansowane pakiety matematyczne w stylu MathCAD, Mathematica czy Maple.

Dużo większe zastosowanie w obliczeniach numerycznych ma  definicja Riemanna, w której całka oznaczona jest interpretowana jako suma pól obszarów, ograniczonych wykresem funkcji \(f(x)\) oraz osią OX. Obszary leżące pod osią mają w tej interpretacji pola ujemne.

Przedział całkowania \({[x_p ; x_k]}\) dzielimy na rozłączne podprzedziały wyznaczając \({n + 1}\) punktów podziałowych:

Punkty podziałowe muszą być tak dobrane, aby przy wzroście \(n\) do nieskończoności maksymalna odległość między sąsiednimi punktami malała do zera, czyli:

Pomiędzy parami sąsiednich punktów \({x_{i-1}}\) i \(x_i\) wybieramy dowolne punkty \(t_i\) spełniające nierówność:

Całka oznaczona Riemanna jest wtedy granicą sum \(n\) prostokątów o podstawie równej \({(x_i - x_{i-1})}\) i wysokości \(f(t_i)\), czyli

Jeśli \(f(t_i)\) jest mniejsze od zera, to pole tego prostokąta zostanie zsumowane ze znakiem minus. Gdy odległości pomiędzy punktami podziałowymi zbliżają się do zera, suma pól prostokątów dąży do pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji.

Różnicę pomiędzy wartością pola pod wykresem funkcji a polem otrzymanym jako suma skończonej ilości prostokątów nazywamy błędem całkowania (ang. integration error). Wraz ze wzrostem liczby prostokątów w całce Riemanna błąd całkowania dąży do zera