Istnieje wiele przykładów urządzeń, w których zastosowanie czystego kodu dwójkowego jest nieekonomiczne z uwagi na ciągłą konieczność przeliczania liczb pomiędzy systemami dziesiętnym i dwójkowym. Są to różnego rodzaju liczniki, kasy sklepowe, kalkulatory, wagi itp. Dla nich opracowano specjalny kod zwany systemem dziesiętnym kodowanym dwójkowo - BCD (ang. Binary Coded Decimal).

Idea kodu jest bardzo prosta - dwójkowo zapisujemy nie wartość liczby lecz jej cyfry dziesiętne. Każda cyfra dziesiętna może być przedstawiona w postaci wartości w naturalnym kodzie binarnym. Do tego celu potrzebne są 4 bity. Kody poszczególnych cyfr przedstawiliśmy w tabelce obok.

Aby odczytać wartość liczby BCD wystarczy podzielić jej kod na grupy 4 bitowe. Każdą grupę zamieniamy zgodnie z tabelką na cyfrę dziesiętną i otrzymujemy zapis liczby w systemie dziesiętnym:

Przykład:

W odwrotną stronę jest również prosto - każdą cyfrę dziesiętną zastępujemy 4 bitami z tabelki i otrzymujemy kod BCD:

Jeśli bity liczby BCD zostaną przekonwertowane na system szesnastkowy, to otrzymane cyfry szesnastkowe odpowiadają dokładnie cyfrom dziesiętnym wartości liczby BCD. Z tej własności często korzystają programiści zapisując kod BCD właśnie w systemie szesnastkowym.

Kod BCD nie jest kodem efektywnym, ponieważ nie wykorzystuje wszystkich możliwych kombinacji bitów w słówkach kodowych - sprawdź to w tabelce. Wynika z tego oczywisty wniosek, iż niektóre słowa kodowe nie są dozwolone, gdyż nie reprezentują cyfr dziesiętnych:

Przykład:

8 bitowa liczba BCD zawiera dwie cyfry dziesiętne, zatem może przyjąć wartości z zakresu od 00 do 99, co daje 100 słów kodowych. Tymczasem 8 bitów można ze sobą połączyć na 256 (2⁸) sposobów. Zatem 156 słów kodowych nie będzie wykorzystanych przez kod BCD - to więcej niż połowa? A jak sprawa ta przedstawia się dla 16 bitów, 24 bitów i 32 bitów?

Cóż, czasami za wygodę w jednej dziedzinie, musimy coś poświęcić w innej dziedzinie. Ostatecznie nadmiarowe słówka kodowe można wykorzystać do kontroli poprawności kodu BCD - jeśli otrzymamy zabronioną kombinację bitów, to od razu wiemy, że coś poszło źle.

Podchodząc do zagadnienia w sposób formalny, możemy wyprowadzić wzór, który na podstawie stanu bitów liczby BCD pozwoli nam obliczyć jej wartość dziesiętną. W tym celu rozważmy wagi pozycji 12-bitowej liczby BCD:

Waga i-tej pozycji w kodzie BCD ma wartość 10^[i/4] · 2^{i mod 4}. Wobec tego wzór na wartość n-bitowej liczby BCD jest następujący:

Wzór do najprostszych nie należy i osobiście wątpię, czy ktokolwiek chciałby go używać. Szybciej znajdziemy wartość liczby grupując bity i zamieniając je na cyfry dziesiętne.

Najmniejszą wartość liczba BCD osiągnie dla wszystkich bitów równych 0. Czyli:

W celu wyznaczenia górnej granicy obliczamy liczbę d pełnych cyfr dziesiętnych zakodowanych w czwórkach bitów liczby BCD. Liczbę tę znajdziemy jako część całkowitą z dzielenia n przez 4:

Każda pozycja dziesiętna może przyjąć maksymalnie wartość 9. I tak:

Widzimy, że górny kres jest równy:

Może się okazać, iż liczba BCD zawiera więcej bitów niż wielokrotność 4. W takim przypadku najstarsze bity (których może być 0,1,2 lub 3) tworzą maksymalnie cyfrę o wartości:

Po zsumowaniu otrzymujemy ostatecznie:

Przykład:

Obliczyć zakres 10-bitowych liczb zapisanych w kodzie BCD.

Ponieważ liczby w kodzie BCD nie są naturalnymi liczbami dwójkowymi, zatem nie można nad nimi wykonywać normalnych działań arytmetycznych. Sprawdźmy:

Po wykonaniu standardowej operacji nad liczbami w kodzie BCD należy sprawdzić i w razie potrzeby skorygować wynik. Dla dodawania i odejmowania korekcja będzie potrzebna wtedy, gdy dana grupa bitów reprezentujących cyfrę dziesiętną ma wartość większą od 9 (binarnie 1001). W takiej sytuacji do grupy tej należy dodać (dla odejmowania odjąć) wartość binarną 0110 (dziesiętnie 6). Sprawdźmy ponownie (kolorem czerwonym zaznaczyliśmy korekcję wyniku):

Korekcja musi również wystąpić, gdy w trakcie dodawania wystąpiło przeniesienie (przy odejmowaniu pożyczka) do sąsiedniej grupy bitów. Np:

Zadanie 1 (łatwe)